\(2 \times 2\) Matrices
\(\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\)
\(\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}\)
Representing Bits
\(|0 \rangle \rightarrow \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}\)
\(|1 \rangle \rightarrow \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}\)
\(\textsf{NOT}\) Gate
\(\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}\)
\(\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}\)
\(\textsf{BUFFER}\) Gate
\(\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}\)
\(\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}\)
Other One Bit Gates
All zero gate?
All one gate?
Two bits
Zero, zero
\(|0\rangle|0\rangle = |00\rangle := |0\rangle \otimes |0\rangle\)
\(|00\rangle \rightarrow \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} \otimes \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \times \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} \\[4mm] 0 \times \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}\)
Zero, one
\(|01\rangle \rightarrow \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} \otimes \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \times \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} \\[4mm] 0 \times \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}\)
One, zero
\(|10\rangle \rightarrow \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} \otimes \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \times \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} \\[4mm] 1 \times \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}\)
One, one
\(|11\rangle \rightarrow \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} \otimes \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \times \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} \\[4mm] 1 \times \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}\)
\(\textsf{AND}\) Gate
\(\begin{bmatrix} ? & ? & ? & ? \\ ? & ? & ? & ? \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}\)
\(\begin{bmatrix} ? & ? & ? & ? \\ ? & ? & ? & ? \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}\)
\(\begin{bmatrix} ? & ? & ? & ? \\ ? & ? & ? & ? \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}\)
\(\begin{bmatrix} ? & ? & ? & ? \\ ? & ? & ? & ? \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}\)