$2 \times 2$ Matrices
$\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$
$\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$
Representing Bits
$|0 \rangle \rightarrow \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}$
$|1 \rangle \rightarrow \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}$
$\textsf{NOT}$ Gate
$\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}$
$\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}$
$\textsf{BUFFER}$ Gate
$\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}$
$\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}$
Other One Bit Gates
All zero gate?
All one gate?
Two bits
Zero, zero
$|0\rangle|0\rangle = |00\rangle \coloneqq |0\rangle \otimes |0\rangle$
$|00\rangle \rightarrow \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} \otimes \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \times \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} \\[4mm] 0 \times \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$
Zero, one
$|01\rangle \rightarrow \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} \otimes \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \times \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} \\[4mm] 0 \times \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$
One, zero
$|10\rangle \rightarrow \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} \otimes \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \times \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} \\[4mm] 1 \times \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}$
One, one
$|11\rangle \rightarrow \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} \otimes \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \times \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} \\[4mm] 1 \times \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$
$\textsf{AND}$ Gate
$\begin{bmatrix} ? & ? & ? & ? \\ ? & ? & ? & ? \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}$
$\begin{bmatrix} ? & ? & ? & ? \\ ? & ? & ? & ? \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}$
$\begin{bmatrix} ? & ? & ? & ? \\ ? & ? & ? & ? \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}$
$\begin{bmatrix} ? & ? & ? & ? \\ ? & ? & ? & ? \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}$