\( \rho = \ket{\phi} \bra{\phi} \)
Example: \( \ket{0} \)
\( \ket{0} \rightarrow \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} \)
\( \Rightarrow \bra{0} \rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 0 \end{bmatrix} \)
\( \Rightarrow \rho = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 \end{bmatrix} \)
\( \Rightarrow \rho = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} \)
Example: \( \ket{1} \)
\( \ket{1} \rightarrow \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} \)
\( \Rightarrow \bra{1} \rightarrow \begin{bmatrix} 0 & 1 \end{bmatrix} \)
\( \Rightarrow \rho = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 1 \end{bmatrix} \)
\( \Rightarrow \rho = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \)
Example: \( \ket{+} \)
\( \ket{+} \rightarrow \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} \)
\( \Rightarrow \bra{+} \rightarrow \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix} 1 & 1 \end{bmatrix} \)
\( \Rightarrow \rho = \frac{1}{2} \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1 \end{bmatrix} \)
\( \Rightarrow \rho = \frac{1}{2} \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \)
Example: \( \ket{-} \)
\( \ket{-} \rightarrow \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix} \)
\( \Rightarrow \bra{-} \rightarrow \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix} 1 & -1 \end{bmatrix} \)
\( \Rightarrow \rho = \frac{1}{2} \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & -1 \end{bmatrix} \)
\( \Rightarrow \rho = \frac{1}{2} \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 1 \end{bmatrix} \)
Example: \( \ket{+i} \)
\( \ket{+i} \rightarrow \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix} 1 \\ i \end{bmatrix} \)
\( \Rightarrow \bra{+i} \rightarrow \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix} 1 & -i \end{bmatrix} \)
\( \Rightarrow \rho = \frac{1}{2} \begin{bmatrix} 1 \\ i \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & -i \end{bmatrix} \)
\( \Rightarrow \rho = \frac{1}{2} \begin{bmatrix} 1 & -i \\ i & 1 \end{bmatrix} \)
Example: \( \ket{-i} \)
\( \ket{-i} \rightarrow \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix} 1 \\ -i \end{bmatrix} \)
\( \Rightarrow \bra{-i} \rightarrow \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix} 1 & -i \end{bmatrix} \)
\( \Rightarrow \rho = \frac{1}{2} \begin{bmatrix} 1 \\ -i \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & i \end{bmatrix} \)
\( \Rightarrow \rho = \frac{1}{2} \begin{bmatrix} 1 & i \\ -i & 1 \end{bmatrix} \)